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Indução matemática Intermédio

Publicado em 28/11/2005 

Método de indução matemática

O Método de Indução Matemática é um método de demonstração elaborado com base no Princípio de Indução Finita, frequentemente utilizado para provar que certas propriedades são verdadeiras para todos os números naturais.

Isto é conseguido através dos seguintes dois passos:

  1. Base de indução: Estabelecer a propriedade para o primeiro dos números naturais, ou seja, o número 1;
  2. Passo de indução: Estabelecer que caso a propriedade se verifique para um número natural n (Hipótese de Indução) então ela também é verificada para o número natural seguinte, n + 1:

Designando por P(n) a propriedade em questão, significa isto que para demonstrarmos que

P(n) é verdadeira n N,

podemos fazê-lo mostrando que:

  1. P(1) é verdadeira;
  2. P(n) P(n+1).

A validade de P(n) para todos os números naturais, depende assim essencialmente da possibilidade em provar que a observação da propriedade num natural, n, implica a verificação da mesma propriedade para o natural seguinte, n + 1 (passo de indução). Se isso suceder, então podemos concluir a veracidade de P(n) para todos os números naturais desde que o primeiro deles (o número 1) a verifique. Na realidade, a validade da propriedade para o primeiro natural (base de indução) implica a sua validade para o segundo (o número 2) e deste para o terceiro (o número três), e assim sucessivamente, cobrindo-se deste modo a totalidade dos naturais, como peças de um dominó em linha, em que as quedas das sucessivas peças são provocadas umas a partir das outras após a queda da primeira peça.

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
  • Francisco Miguel Dionísio

Créditos:

  • Henrique Bandarra
  • João Pedro Afonso
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] Aniceto Monteiro, A., Silva Paulo, J., Aritmética Racional, Livraria Avelar Machado, 1945.
  • [2] Berberian, S.K., A First Course in Real Analysis, Springer, 1994.
  • [3] Calado, J., Compêndio de Aritmética Racional, Livraria Popular de Francisco Franco, 1963.
  • [4] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [5] Guzmán, M. de, Aventuras Matemáticas, Gradiva, 1990.
  • [6] Sominskii, I.S., The Method of Mathematical Induction, Pergamon Press, 1961.
 

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