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Indução matemática Intermédio

Publicado em 28/11/2005 

Propriedade indutiva

Através da argumentação usada anteriormente relativa a "10n é múltiplo de 7", também podemos estabelecer que é hereditária a propriedade "10n é múltiplo de 5". Porém, há uma diferença entre as duas: é que enquanto esta é verificada para todos os números naturais, a primeira é uma condição impossível, já que nenhuma potência de 10 é múltipla de 7.

Parece estranho este facto? Talvez não. Poderemos também imaginar que nos humanos a característica "ter olhos vermelhos" seja tão hereditária como a de ter "grupo sanguíneo A" e, contudo, não se conhece nenhum ser humano com olhos vermelhos. Isto significa que não podemos desprezar um outro detalhe essencial inerente a esta questão: que é a de haver um primeiro elemento a ser possuidor de tal característica.

Se a propriedade hereditária, P(n), for verdadeira para n = 1 (ou seja, se P(1) for uma proposição verdadeira) diremos que P(n) é uma propriedade indutiva.

Assim, a principal diferença entre as propriedades "10n é múltiplo de 7" e "10n é múltiplo de 5" reside no facto de a última ser indutiva e a primeira não.

Considerando agora a propriedade "10n é múltiplo de 8", estamos perante, à semelhança dos casos anteriores, de uma propriedade hereditária que, contudo, não é indutiva, pois 10 não é múltiplo de 8. De facto, nem 10, nem 100 são múltiplos de 8, mas são múltiplos de 8 os naturais 1000, 10000, etc. o que significa que a condição "10n+2 é múltiplo de 8" é indutiva.

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
  • Francisco Miguel Dionísio

Créditos:

  • Henrique Bandarra
  • João Pedro Afonso
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] Aniceto Monteiro, A., Silva Paulo, J., Aritmética Racional, Livraria Avelar Machado, 1945.
  • [2] Berberian, S.K., A First Course in Real Analysis, Springer, 1994.
  • [3] Calado, J., Compêndio de Aritmética Racional, Livraria Popular de Francisco Franco, 1963.
  • [4] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [5] Guzmán, M. de, Aventuras Matemáticas, Gradiva, 1990.
  • [6] Sominskii, I.S., The Method of Mathematical Induction, Pergamon Press, 1961.
 

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