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Indução matemática Intermédio

Publicado em 28/11/2005 

Mapa de duas cores - Demonstração...

Faça duplo clique para acrescentar um ponto (dois pontos definem uma recta)

Para provarmos que tal é possível, procedamos por indução relativamente ao número de rectas que estão desenhadas no rectângulo.

Vejamos:

  1. Se só existe uma recta, o caso parece evidente. De facto, em tal situação só haverá no mapa dois países: um será o azul e o outro o amarelo.
  2. Suponhamos agora que sempre que o mapa tiver x rectas, os países nele desenhados podem ser coloridos com aquelas duas cores (hipótese de indução).

    Nesta conformidade o que acontecerá se o mapa tiver x + 1 rectas? Se o mapa tiver x + 1 rectas e eu lhe tirar uma, ficará com esta conformidade o que acox

    rectas. Como tal, pela hipótese de indução, é possível colori-lo com as duas cores referidas segundo a regra indicada.

     

    Ao tornarmos a repôr a recta que tirámos, o mapa fica dividido em duas partes e alguns países também. Numa das partes à escolha (parte A), deixemos as cores tal como estão. Na outra parte (parte B), troquemos as cores respectivas: o azul pelo amarelo e o amarelo pelo azul.

    O que sucedeu? Os países que estavam na parte A e não foram divididos pela nova recta, ficaram na mesma. Os países que estavam na parte B e não foram divididos pela nova recta, ficaram também na mesma, mas com cores trocadas. Por fim os novos países obtidos por divisão de países do mapa anterior mediante a reposição da recta, têm um segmento desta recta como fronteira. Uns deles ficam na parte A com uma cor e os outros na parte B com outra cor.

    Vemos assim que se é possível colorir o mapa com x rectas, também é possível fazê-lo com x + 1 rectas.

Logo pelo Método de Indução podemos concluir ser possível colorir o mapa nas condições apontadas para um número qualquer de rectas.

Exemplos da utilização do Método de Indução Matemática.

  1. Peças de dominó
  2. Soma dos n primeiros números ímpares/Números quadrados
  3. Mapa de duas cores

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
  • Francisco Miguel Dionísio

Créditos:

  • Henrique Bandarra
  • João Pedro Afonso
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] Aniceto Monteiro, A., Silva Paulo, J., Aritmética Racional, Livraria Avelar Machado, 1945.
  • [2] Berberian, S.K., A First Course in Real Analysis, Springer, 1994.
  • [3] Calado, J., Compêndio de Aritmética Racional, Livraria Popular de Francisco Franco, 1963.
  • [4] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [5] Guzmán, M. de, Aventuras Matemáticas, Gradiva, 1990.
  • [6] Sominskii, I.S., The Method of Mathematical Induction, Pergamon Press, 1961.
 

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