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Equações exactas Avançado

Publicado em 27/01/2009 

Ficha de Aprendizagem

Síntese

Neste tópico são definidas as condições necessárias e suficientes para que uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem seja exacta e resolve-se a equação nesse caso.

Palavras-chave
  • Equações diferenciais ordinárias
  • EDO
  • Equações exactas
Objectivos de aprendizagem

A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:

  • Determinar se uma equação diferencial ordinária é ou não exacta;
  • Resolver equações diferenciais exactas.
Pré-requisitos

Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:

Depois de analisarmos como resolver equações lineares e equações separáveis, neste tópico vamos analisar um caso um pouco mais geral, o das EDOs exactas.

Exemplo 1

Consideremos a EDO

3x'x2t2 + 2tx3 = 0.

Nota

Para simplificar a notação escrevemos x em vez de x(t) e x' em vez de x'(t) ou Fórmula 1.

Esta equação pode ser resolvida notando que o membro esquerdo é uma derivada:

Fórmula 2

Logo as suas soluções são dadas por

Fórmula 3

onde k = C1/3 é uma constante dada pela condição inicial.

Em geral, uma EDO

M(x,t) + x'N(x,t) = 0

diz-se exacta se o membro esquerdo da equação for a derivada em ordem ao tempo de uma função Φ(x,t), ou seja, se

Fórmula 4

Para vermos se uma equação é exacta notemos em primeiro lugar que a derivada em ordem a t de Φ(x,t) é dada por

Fórmula 5

Logo, se

Fórmula 6

e

Fórmula 7

a EDO é exacta.

Autor e Créditos

Autor:

  • Nelson Sousa
  • Carlos Florentino
 

Tópicos Relacionados

  • Equações separáveis

    Nelson Sousa; Carlos Florentino | 27/01/2009 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem | Avançado

 

Referências Bibliográficas

  • [1] F. Pestana da Costa, Equações Diferenciais Ordinárias, 2ª edição, IST Press, 2001.
  • [2] L. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, DM-IST, 1995.
  • [3] M. Braun, Differential Equations and their Applications. An introduction to applied mathematics, 4th edition, Springer Verlag, 1992.
 

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