Síntese
Neste tópico são definidas as condições necessárias e suficientes para que uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem seja exacta e resolve-se a equação nesse caso.
Palavras-chave
- Equações diferenciais ordinárias
- EDO
- Equações exactas
Objectivos de aprendizagem
A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:
- Determinar se uma equação diferencial ordinária é ou não exacta;
- Resolver equações diferenciais exactas.
Pré-requisitos
Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:
- Cálculo diferencial
- Cálculo integral
- Funções elementares (polinomiais, racionais, trigonométricas e inversas, exponencial, logarítmica)
- Equações diferenciais ordinárias separáveis
- Equações lineares não homogéneas
Depois de analisarmos como resolver equações lineares e equações separáveis, neste tópico vamos analisar um caso um pouco mais geral, o das EDOs exactas.
Exemplo 1
Consideremos a EDO
3x'x2t2
+
2tx3
= 0.
Nota
Para simplificar a notação escrevemos
x em vez de
x(t) e
x' em vez de
x'(t) ou
.
Esta equação pode ser resolvida notando que o membro esquerdo é uma derivada:
Logo as suas soluções são dadas por
onde k = C1/3 é uma constante dada pela condição inicial.
Em geral, uma EDO
M(x,t)
+
x'N(x,t)
= 0
diz-se exacta se o membro esquerdo da equação for a derivada em ordem ao tempo de uma função Φ(x,t), ou seja, se
Para vermos se uma equação é exacta notemos em primeiro lugar que a derivada em ordem a t de Φ(x,t) é dada por
Logo, se
e
a EDO é exacta.
Para comentar tem de estar registado no portal.