Neste tópico são definidas as condições necessárias e suficientes para que uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem seja exacta e resolve-se a equação nesse caso.
A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:
Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:
Depois de analisarmos como resolver equações lineares e equações separáveis, neste tópico vamos analisar um caso um pouco mais geral, o das EDOs exactas.
Exemplo 1
Consideremos a EDO
Nota
Para simplificar a notação escrevemos
x em vez de
x(t) e
x' em vez de
x'(t) ou
.
Esta equação pode ser resolvida notando que o membro esquerdo é uma derivada:
Logo as suas soluções são dadas por
onde k = C1/3 é uma constante dada pela condição inicial.
Em geral, uma EDO
diz-se exacta se o membro esquerdo da equação for a derivada em ordem ao tempo de uma função Φ(x,t), ou seja, se
Para vermos se uma equação é exacta notemos em primeiro lugar que a derivada em ordem a t de Φ(x,t) é dada por
Logo, se
e
a EDO é exacta.
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