Síntese
Introdução à resolução de equações diferenciais ordinárias, com cálculo da solução geral de uma equação diferencial separável e da solução de problemas de valor inicial.
Palavras-chave
- Equações diferenciais ordinárias
- EDO
- Equações separáveis
Objectivos de aprendizagem
A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:
- Resolver equações diferenciais de 1ª ordem separáveis
- Calcular a solução geral de uma equação diferencial separável e a solução de problemas de valor inicial
Pré-requisitos
Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:
- Cálculo diferencial
- Cálculo integral
- Funções elementares (polinomiais, racionais, trigonométricas e inversas, exponencial, logarítmica)
Uma equação diferencial ordinária
(EDO) de 1º ordem diz-se separável se pudermos isolar a variável independente num dos membros da equação e a variável dependente
no outro membro da equação.
Exemplo 1
A equação x'(t) = 2tx(t) é separável, pois podemos escrevê-la na forma
ressalvando a condição x≠0
1
.
Esta equação pode resolver-se facilmente notando que o membro esquerdo da equação é a derivada de log |x(t)|:
Ou seja, podemos escrever
e integrando ambos os membros da equação em ordem a x obtemos
onde C é uma constante arbitrária.
Concluímos que
onde k = ±eC.
De forma mais geral podemos resolver a EDO
usando o mesmo método:
onde F(t) é uma primitiva de f(t).
Ou seja, uma solução desta EDO é
Nota
A utilização de negrito nas expressões “uma primitiva” e “uma solução” não é inocente.
Quando derivamos uma função «perdemos informação», já que a derivada de uma constante é igual a zero. Duas funções tais que a sua diferença é constante têm a mesma derivada (por exemplo t2, t2 + 1, t2 + 2, etc.). Logo, quando primitivamos uma função obtemos não a primitiva da função mas sim uma primitiva.
O mesmo se passa nas equações diferenciais. Uma vez que uma equação diferencial envolve uma função e a sua derivada há «informação perdida». A cada primitiva de f(x) corresponde uma solução da equação diferencial.
As soluções de uma EDO são as funções que obedecem à EDO. Note-se contudo que obedecer à EDO implica que a solução tenha de ser uma função de classe C1 (contínua e de derivada contínua)!
Quando afirmamos que f(t) = et2 é uma solução da EDO x'(t) = 2tx(t) estamos apenas a dizer que
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