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Equações separáveis Avançado

Publicado em 27/01/2009 

Ficha de Aprendizagem

Síntese

Introdução à resolução de equações diferenciais ordinárias, com cálculo da solução geral de uma equação diferencial separável e da solução de problemas de valor inicial.

Palavras-chave
  • Equações diferenciais ordinárias
  • EDO
  • Equações separáveis
Objectivos de aprendizagem

A aprendizagem neste tópico envolve os seguintes objectivos:

  • Resolver equações diferenciais de 1ª ordem separáveis
  • Calcular a solução geral de uma equação diferencial separável e a solução de problemas de valor inicial
Pré-requisitos

Os seguintes conhecimentos são essenciais para a compreensão deste tópico:

  • Cálculo diferencial
  • Cálculo integral
  • Funções elementares (polinomiais, racionais, trigonométricas e inversas, exponencial, logarítmica)

Uma equação diferencial ordináriaGlossário (EDO) de 1º ordem diz-se separável se pudermos isolar a variável independente num dos membros da equação e a variável dependente no outro membro da equação.

Exemplo 1

A equação x'(t) = 2tx(t) é separável, pois podemos escrevê-la na forma

ressalvando a condição x0 1Tooltip .

Esta equação pode resolver-se facilmente notando que o membro esquerdo da equação é a derivada de log |x(t)|:

Ou seja, podemos escrever

e integrando ambos os membros da equação em ordem a x obtemos

onde C é uma constante arbitrária.

Concluímos que

onde k = ±eC.

De forma mais geral podemos resolver a EDO

usando o mesmo método:

onde F(t) é uma primitiva de f(t).

Ou seja, uma solução desta EDO é

Nota

A utilização de negrito nas expressões “uma primitiva” e “uma solução” não é inocente.

Quando derivamos uma função «perdemos informação», já que a derivada de uma constante é igual a zero. Duas funções tais que a sua diferença é constante têm a mesma derivada (por exemplo t2, t2 + 1, t2 + 2, etc.). Logo, quando primitivamos uma função obtemos não a primitiva da função mas sim uma primitiva.

O mesmo se passa nas equações diferenciais. Uma vez que uma equação diferencial envolve uma função e a sua derivada há «informação perdida». A cada primitiva de f(x) corresponde uma solução da equação diferencial.

As soluções de uma EDO são as funções que obedecem à EDO. Note-se contudo que obedecer à EDO implica que a solução tenha de ser uma função de classe C1 (contínua e de derivada contínua)!

Quando afirmamos que f(t) = et2 é uma solução da EDO x'(t) = 2tx(t) estamos apenas a dizer que

Autor e Créditos

Autor:

  • Nelson Sousa
  • Carlos Florentino
 

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  • Equações exactas

    Nelson Sousa; Carlos Florentino | 27/01/2009 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem | Avançado

 

Referências Bibliográficas

  • [1] F. Pestana da Costa, Equações Diferenciais Ordinárias, 2ª edição, IST Press, 2001.
  • [2] L. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, DM-IST, 1995.
  • [3] M. Braun, Differential Equations and their Applications. An introduction to applied mathematics, 4th edition, Springer Verlag, 1992.
 

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