Momento angular de um sistema de partículas Avançado
Publicado em 04/09/2004
No tópico Momento angular, definimos momento angular como sendo a quantidade:
Também foi estabelecida a relação entre a variação ao longo do tempo do momento angular e o momento das forças aplicadas no corpo:
Veremos agora como é que estas relações se comportam para um sistema com vários corpos. Como primeira situação, vamos considerar o caso em que o sistema é composto de dois corpos. Aplicando a equação anterior a cada um deles teremos:
e
sendo que 1 é o momento angular do corpo 1 ,
1 o
seu vector posição e
1 a
força que lhe é aplicada e cujo momento (ou efeito na sua rotação) corresponde a d
1/dt e equivalentemente para
2,
2,
2, d
2/dt.
Suponhamos agora que, para além de existir uma
força de interacção
entre os dois corpos, existem forças externas aplicadas a cada um deles
(sendo o sistema não isolado). A força total exercida sobre a primeira
partícula será 1+
12 e na segunda
2+
21 em que
1 é a
soma das forças externas aplicadas ao corpo 1 e
12 é a
força de interacção do corpo 1 sobre o corpo 2, assim como
2 é a
soma das forças externas aplicadas ao corpo 2 e
21 é a
força de interacção do corpo 2 sobre o corpo 1. Teremos então:
e
Uma
vez que 12 =-
21 ,
temos que o momento total das forças aplicadas no sistema d
/dt, é igual à soma
do momento das forças aplicadas na partícula 1 e do momento das
forças aplicadas na partícula 2:
Ora, as forças entre os corpos agem ao longo da recta que os une, o
que implica
que . Ficamos finalmente com:
Podemos generalizar para sistemas compostos de um maior número de partículas e afirmar que a variação do momento angular de um sistema não isolado de várias partículas (seja n o número de partículas) é igual à soma dos momentos das forças exteriores aplicadas a cada partícula do sistema ou, para simplificar, ao momento das forças exteriores aplicadas no seu centro de massa:
No caso de um sistema isolado em que não existem forças exteriores aplicadas ao sistema (também para o caso de um sistema pseudo-isolado em que a soma das forças exteriores é nula, ou seja, em que cada força exterior é compensada pelas outras forças exteriores aplicadas ao sistema), o momento angular conserva-se:
O momento angular de um sistema isolado ou pseudo-isolado de partículas é constante.
Existe assim uma analogia entre o momento angular e a quantidade de movimento (também chamada, devido à esta analogia, momento linear) e entre a conservação do momento linear de um sistema de partículas isolado e a conservação do momento angular num sistema isolado de partículas.
Pode-se assim estabelecer um paralelismo formal entre o movimento de translação
e o movimento de rotação, usando os conceitos de momento de uma
força em relação a um ponto material P de
momento de inércia I, de momento angular
de velocidade
angular
e de aceleração angular
e
as relações estudadas.
Movimento de translação:
Movimento de rotação:
sendo as duas correspondências estabelecidas entre as primeiras e as segundas equações dos dois tipos de movimento.
Para comentar tem de estar registado no portal.