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Seguidamente vamos analisar, através de exemplos, alguns casos notáveis de equivalência e preponderância assimptóticas.
Exemplo 1. Seja un → 0 uma sucessão de termos não nulos. Então:
1.1 sen un ~ un.
Podemos supôr que 0 < |un| < π/2, para todos os naturais, n. Então, com base na relação
|sen x| ≤ |x| ≤ |tan x|,
válida para qualquer , facilmente se chega às desigualdades
válidas para todos os naturais, n. Por outro lado, como então
a desigualdade acima pode escrever-se na forma
Então, por enquadramento (veja-se [2, p. 96] ) podemos concluir que
ou seja, que sen un ~ un.
1.2 tan un ~ un.
1.3
Autor e Créditos
Autor:
- José Manuel Ferreira
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Referências Bibliográficas
- [1] N. G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, Dover, New York, 1981.
- [2] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
- [3] J. Dieudonné, Calcul Infinitésimal, Hermann, Paris, 1968.
- [4] N. Garcia, O número e, Ed. Danúbio, 1985.
- [5] R.L. Graham, D. Knuth e O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Boston, 2004.
- [6] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1975.
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