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Propriedades fundamentais Intermédio

Publicado em 20/12/2006 

Qualquer sucessão é, obviamente, assimptoticamene equivalente a si própria. Isto é, xn ~ xn, qualquer que seja a sucessão xn. Esta propriedade da equivalência assimptótica é vulgarmente designada de reflexiva. Facilmente se percebe que a dominação assimptótica também é reflexiva, mas que o mesmo não sucede à preponderância assimptótica. Observemos existir igualmente uma simetria na equivalência assimptótica já que

atendendo a que

se αn ≠ 0 o que acontece posteriormente tendo em conta que αn → 1, facto que adicionalmente implica 1/αn → 1. Deste modo, podemos adoptar uma outra leitura da relação xn ~ yn dizendo que xn e yn são sucessões assimptoticamente equivalentes entre si.

Sugere a equivalência assimptótica entre duas sucessões xn e yn, que ambas assumem valores "aproximados" para valores de n "suficientemente grandes". É claro que se xn e yn são sucessões convergentes para o mesmo limite l ≠ 0 então xn ~ yn. O inverso sucede igualmente mesmo noutras circunstâncias, como sejam os casos de infinitésimos ou de infinitamente grandes.

P1. Se xn ~ yn então lim xn = lim yn, caso um destes limites exista.

Demonstração

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] N. G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, Dover, New York, 1981.
  • [2] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [3] J. Dieudonné, Calcul Infinitésimal, Hermann, Paris, 1968.
  • [4] N. Garcia, O número e, Ed. Danúbio, 1985.
  • [5] R.L. Graham, D. Knuth e O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Boston, 2004.
  • [6] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1975.
  • [7] G. H. Hardy, Orders of infinity, Hafner Publishing Company, N. York, 1971.
 

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