Propriedades fundamentais Intermédio
Publicado em 20/12/2006
Qualquer sucessão é, obviamente, assimptoticamene equivalente a si própria. Isto é, xn ~ xn, qualquer que seja a sucessão xn. Esta propriedade da equivalência assimptótica é vulgarmente designada de reflexiva. Facilmente se percebe que a dominação assimptótica também é reflexiva, mas que o mesmo não sucede à preponderância assimptótica. Observemos existir igualmente uma simetria na equivalência assimptótica já que
atendendo a que
se αn ≠ 0 o que acontece posteriormente tendo em conta que αn → 1, facto que adicionalmente implica 1/αn → 1. Deste modo, podemos adoptar uma outra leitura da relação xn ~ yn dizendo que xn e yn são sucessões assimptoticamente equivalentes entre si.
Sugere a equivalência assimptótica entre duas sucessões xn e yn, que ambas assumem valores "aproximados" para valores de n "suficientemente grandes". É claro que se xn e yn são sucessões convergentes para o mesmo limite l ≠ 0 então xn ~ yn. O inverso sucede igualmente mesmo noutras circunstâncias, como sejam os casos de infinitésimos ou de infinitamente grandes.
P1. Se xn ~ yn então lim xn = lim yn, caso um destes limites exista.
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