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Sucessões assimptoticamente equivalentes, preponderantes e dominantes Intermédio

Publicado em 10/11/2006 

A análise assimptótica de sucessões constitui, como o próprio nome indica, um método de comparação relativo, por assim dizer, ao comportamento de sucessões "no infinito". Tem por base três conceitos muito simples, mas bastante práticos quer no cálculo de limites, quer noutras situações. Para o efeito consideremos duas sucessões de números reais, xn e yn.

Sempre que existir uma sucessão αn → 1 tal que se tenha

xn = αn . yn, posteriormente,

afirmaremos que xn é uma sucessão assimptoticamente equivalente a yn. Nestas circunstâncias escreveremos

xn ~ yn.

Diremos que xn é uma sucessão desprezável perante yn, facto que indicaremos por

xn yn,

se existir uma sucessão βn → 0 tal que

xn = βn . yn, posteriormente.

Nesta situação adoptaremos também a designação yn xn que leremos dizendo que yn é uma sucessão preponderante relativamente a xn.

Por fim, a sucessão xn dir-se-á dominada por yn, e escreveremos

xn yn

se existir uma sucessão limitada, γn, tal que

xn = γn . yn, posteriormente.

Também usaremos a notação yn xn que traduziremos afirmando que a sucessão yn domina xn ou que yn é uma sucessão dominante relativamente a xn.

É óbvio que xn yn quando se tem, quer xn ~ yn, quer xn yn.

Se yn for uma sucessão sem termos nulos é claro que então, qualquer das sucessões αn, βn e γn, acima descritas, é (posteriormente) igual a xn/yn. Em tal circunstância tem-se então que:

  • xn ~ yn lim xn/yn = 1,
  • xn yn lim xn/yn = 0,
  • xn yn xn/yn é limitada.

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] N. G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, Dover, New York, 1981.
  • [2] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [3] J. Dieudonné, Calcul Infinitésimal, Hermann, Paris, 1968.
  • [4] N. Garcia, O número e, Ed. Danúbio, 1985.
  • [5] R.L. Graham, D. Knuth e O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Boston, 2004.
  • [6] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1975.
  • [7] G. H. Hardy, Orders of infinity, Hafner Publishing Company, N. York, 1971.
 

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