Sucessões assimptoticamente equivalentes, preponderantes e dominantes Intermédio
Publicado em 10/11/2006
A análise assimptótica de sucessões constitui, como o próprio nome indica, um método de comparação relativo, por assim dizer, ao comportamento de sucessões "no infinito". Tem por base três conceitos muito simples, mas bastante práticos quer no cálculo de limites, quer noutras situações. Para o efeito consideremos duas sucessões de números reais, xn e yn.
Sempre que existir uma sucessão αn → 1 tal que se tenha
xn = αn . yn, posteriormente,
afirmaremos que xn é uma sucessão assimptoticamente equivalente a yn. Nestas circunstâncias escreveremos
xn ~ yn.
Diremos que xn é uma sucessão desprezável perante yn, facto que indicaremos por
xn yn,
se existir uma sucessão βn → 0 tal que
xn = βn . yn, posteriormente.
Nesta situação adoptaremos também a designação
yn xn que
leremos dizendo que yn é uma
sucessão preponderante relativamente
a xn.
Por fim, a sucessão xn dir-se-á dominada por yn, e escreveremos
xn yn
se existir uma sucessão limitada, γn, tal que
xn = γn . yn, posteriormente.
Também usaremos a notação yn xn que
traduziremos afirmando que a sucessão yn domina xn ou
que yn é uma sucessão dominante relativamente
a xn.
É óbvio que xn yn quando
se tem, quer xn ~ yn, quer xn
yn.
Se yn for uma sucessão sem termos nulos é claro que então, qualquer das sucessões αn, βn e γn, acima descritas, é (posteriormente) igual a xn/yn. Em tal circunstância tem-se então que:
- xn ~ yn
lim xn/yn = 1,
- xn
yn
- xn
yn
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