Sistemas de coordenadas Intermédio
Publicado em 25/06/2002 (revisto em 05/02/2010)
A escolha do tipo de representação que queremos fazer de um dado movimento é muitas vezes crucial para a abordagem eficiente de um problema. Significa isto que temos de escolher judiciosamente as variáveis relevantes do processo em apreciação e representá-lo nessas variáveis.
Suponhamos que queremos representar o movimento de um corpo que segue uma trajectória circular num plano, como ilustrado na animação. Podemos tomar como variáveis descrevendo o nosso movimento as usuais coordenadas cartesianas (x,y). A trajectória será descrita por duas funções do tempo, x(t) e (y(t), que têm o constrangimento de estarem ligadas entre si por descreverem uma circunferência de centro (x0, y0) e raio R
(x(t) – x0)2 + (y(t) – y0)2 = R2
O primeiro reparo a fazer em relação a esta escolha é a posição do ponto de referência. Melhor escolha seria colocá-lo no centro da circunferência. Nessas circunstâncias a equação de constrangimento anterior passaria a ter a forma
x(t)2 + y(t)2 = R2
uma vez que as coordenadas x e y passariam a ser medidas a partir do centro da circunferência.
Representação do movimento circular uniforme.
Por outro lado, a condição de constrangimento mostra que as variáveis x e y não são independentes, ou seja, que uma pode ser expressa como função da outra
Isto significa que o problema não necessita de duas variáveis para a sua descrição, mas apenas uma. Dizemos por isso que o sistema tem apenas um grau de liberdade. O número mínimo de variáveis necessário para descrever um dado processo designa-se por número de graus de liberdade do sistema.
Embora o movimento seja realizado sobre um plano (num espaço a 2 dimensões) o sistema só tem um grau de liberdade e só necessita de uma coordenada para a sua descrição.
A escolha mais simples seria usar, por exemplo, a coordenada x. Isto implicaria o uso repetido de raízes quadradas cada vez que tivéssemos de introduzir a coordenada y nos nossos cálculos e, como sabemos, as raízes quadradas são objectos matemáticos pouco confortáveis.
A opção certa passa pelo uso de coordenadas
polares em que a posição no plano é identificada por um ângulo
e uma distância a um ponto de referência. Como sobre a circunferência
a distância R é constante resta-nos apenas o ângulo para referenciar
a posição. Esta é a coordenada que precisamos para descrever
o movimento e será ela que dependerá do tempo. A coordenadas como
chama-se
por vezes coordenadas generalizadas em contraponto às usuais coordenadas cartesianas. Estas últimas podem sempre ser recuperadas por transformações
de coordenadas:
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