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Funções Intermédio

Publicado em 01/03/2004 (revisto em 24/11/2005)

A propósito da noção de contradomínio, introduzimos agora uma noção muito útil e sugestiva:

Definição

Seja f: AB e C um conjunto qualquer; designamos por imagem de C por f, f(C), o subconjunto de B constituído pelas imagens por f de todos os elementos de C, isto é,

f(C) = {f(x); x CA}.

Nestas condições, se CA = Ø, tem-se f(C) = Ø; se CA ≠ Ø, então f(C) é o contradomínio da restrição de f ao conjunto CA e, em particular, com C = A, f(A) designa o contradomínio da função f. Com esta notação, f: A → B é sobrejectiva sse f(A) = B.

Diagrama de Venn para uma função não sobrejectiva.

Fig. 2 - Diagrama de Venn para uma função não sobrejectiva.

Uma outra propriedade importante pode ser também motivada pelos exemplos anteriores:

No exemplo 2, Sá e Silva moram na mesma rua, ou seja,

ψ(Sá) = ψ(Silva) = Rua da Rosa.

Pelo contrário, em qualquer um dos outros exemplos, a função faz corresponder imagens diferentes a objectos diferentes; uma função nestas condições diz-se injectiva.

Assim,

Definição

Uma função f: A → B diz-se injectiva sse elementos distintos de A têm imagens distintas. De forma equivalente, f é injectiva sse

x,y A     xy          f (x) ≠ f (y),

ou, ainda, sse

x,y A     f (x) = f (y)          x = y.

Diagrama de Venn de uma função não injectiva.

Fig. 3 - Diagrama de Venn de uma função não injectiva.

Então, a função ψ do exemplo 2 não é injectiva.

Autor e Créditos

Autor:

  • Grupo de Matemática da UTL

Créditos:

  • Salvina Ribeiro
  • Ângelo Valério
 

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