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Funções Intermédio

Publicado em 01/03/2004 (revisto em 24/11/2005)

Consideremos agora alguns exemplos de funções:

Observemos que as funções dos exemplos 4 e 5 são diferentes, uma vez que têm domínios distintos. No entanto, a expressão designatória que as define é a mesma; além disso, o domínio de f é um subconjunto do domínio g. Por esta razão dizemos que f é a restrição de g ao conjunto IN. Mais geralmente,

Definição

Dada uma função φ: AB e um conjunto C tal que C A, chamamos restrição de φ a C à função ψ definida por:

ψ : CB

ψ(x) = φ(x) x C

e denotamos ψ = φ|C.

Nas condições da definição acima, diremos também que φ é um prolongamento de ψ ao conjunto A.

No entanto, se bem que "restrição de φ a C" é uma afirmação precisa, "prolongamento de ψ a A" não o é.

Com efeito, dada uma função φ : AB e o conjunto C A, a restrição de φ ao conjunto C é uma função CB, única.

Por outro lado, dada uma função ψ : CB e um conjunto A C, em geral, podemos prolongar ψ a A de diversas maneiras, isto é, o prolongamento não é único. Mais precisamente, é fácil provar que o prolongamento de ψ a A é único sse A = C (caso em que o prolongamento de ψ a A coincide com a própria ψ) ou B é um conjunto singular (caso em que o prolongamento de ψ a A é uma função constante).

Assim, a função

F : IR → IR

F (x) = 2x + 1      x IN

F (x) = -1      x IR\IN

tem, como restrição a IN, a função f do exemplo 4, logo F é um prolongamento de f a IR. Mas g (no exemplo 5) também é um prolongamento de f a IR e as funções F e g são distintas.

No que segue, continuamos a fazer considerações sobre os cinco exemplos atrás, que nos irão sugerir novas definições importantes.

Autor e Créditos

Autor:

  • Grupo de Matemática da UTL

Créditos:

  • Salvina Ribeiro
  • Ângelo Valério
 

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