Funções Intermédio
Publicado em 01/03/2004 (revisto em 24/11/2005)
Consideremos agora alguns exemplos de funções:
Observemos que as funções dos exemplos 4 e 5 são diferentes, uma vez que têm domínios distintos. No entanto, a expressão designatória que as define é a mesma; além disso, o domínio de f é um subconjunto do domínio g. Por esta razão dizemos que f é a restrição de g ao conjunto IN. Mais geralmente,
Definição
Dada uma função φ: A → B e um conjunto C tal que C A, chamamos restrição de φ a C à função ψ definida por:
ψ : C → B
ψ(x) = φ(x) x
C
e denotamos ψ = φ|C.
Nas condições da definição acima, diremos também que φ é um prolongamento de ψ ao conjunto A.
No entanto, se bem que "restrição de φ a C" é uma afirmação precisa, "prolongamento de ψ a A" não o é.
Com efeito, dada uma função φ : A → B e o conjunto C A, a restrição de φ ao conjunto C é uma função C → B, única.
Por outro lado, dada uma função ψ : C → B e um conjunto A C, em geral, podemos prolongar ψ a A de diversas maneiras, isto é, o prolongamento não é único. Mais precisamente, é fácil provar que o prolongamento de ψ a A é único sse A = C (caso em que o prolongamento de ψ a A coincide com a própria ψ) ou B é um conjunto singular (caso em que o prolongamento de ψ a A é uma função constante).
Assim, a função
F : IR → IR
F (x) = 2x + 1 x
IN
F (x) = -1 x
IR\IN
tem, como restrição a IN, a função f do exemplo 4, logo F é um prolongamento de f a IR. Mas g (no exemplo 5) também é um prolongamento de f a IR e as funções F e g são distintas.
No que segue, continuamos a fazer considerações sobre os cinco exemplos atrás, que nos irão sugerir novas definições importantes.
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