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Indução matemática Intermédio

Publicado em 28/11/2005 

Propriedade hereditária

O princípio de indução finita tem como universo o conjunto dos naturais

N = {1, 2, 3, ..., n,...}

e incide sobre propriedades ou condições dependentes da variável natural, n. Por exemplo: "n é par", "10n é múltiplo de 7" ou "3n +1 > 17". Ou seja, sobre expressões proposicionais, que quando concretizadas por valores de n, podem originar proposições falsas ou verdadeiras.

Comecemos por observar que por meio da operação elementar de adicionar uma unidade, temos a possibilidade de passar de um número natural, n para o número natural seguinte n + 1, a que chamaremos o sucessor de n.

Uma propriedade ou condição, P(n) , de variável natural, dir-se-á hereditária sempre que sendo uma proposição verdadeira para um qualquer natural, n, é também verdadeira para o seu sucessor, n + 1.

Por exemplo, condição "n é par" não é hereditária, já que se um determinado número n é par, então o seu sucessor, n + 1, será certamente um número ímpar.

No entanto, "10n é múltiplo de 7" é uma propriedade hereditária. De facto, admitamos que

10n é múltiplo de 7,

isto é, que existe um número natural a tal que

10n = 7a.

Nesta situação então também 10n+1 é múltiplo de 7 visto que

10n+1 = (10n ) 10 = (7a) 10 = 7 (10a).

Podemos descortinar alguma semelhança desta "hereditariedade matemática" com a hereditariedade genética, regulada pelas conhecidas leis de Mendel. Aqui se estabelece que certas características genéticas como ter "grupo sanguíneo A" se pode transmitir nos humanos de pai para filho, ou talvez melhor, de um indivíduo para os seus descendentes ou sucessores.

Autor e Créditos

Autor:

  • José Manuel Ferreira
  • Francisco Miguel Dionísio

Créditos:

  • Henrique Bandarra
  • João Pedro Afonso
 

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Referências Bibliográficas

  • [1] Aniceto Monteiro, A., Silva Paulo, J., Aritmética Racional, Livraria Avelar Machado, 1945.
  • [2] Berberian, S.K., A First Course in Real Analysis, Springer, 1994.
  • [3] Calado, J., Compêndio de Aritmética Racional, Livraria Popular de Francisco Franco, 1963.
  • [4] Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, Lisboa, 1990.
  • [5] Guzmán, M. de, Aventuras Matemáticas, Gradiva, 1990.
  • [6] Sominskii, I.S., The Method of Mathematical Induction, Pergamon Press, 1961.
 

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