e-escola

Lógica e fundamentos

Publicado em 11/05/2006 

Aristoteles

Aristóteles. (Fonte: Mactutor History of Mathematics Link externo. Maio de 2009).

É parte essencial da Matemática a justificação rigorosa dos conceitos e raciocínios de que se ocupa. A primeira referência explícita à classificação de raciocínios como válidos ou inválidos, de acordo com a sua forma, é do fundador da Lógica, Aristóteles. A identificação de formas válidas de raciocínio foi objecto de estudo desde então. Deve referir-se o sonho de Leibnitz (século XVII) de criar uma linguagem que representasse os conceitos do pensamento humano e que fosse manipulável simbólicamente (como na Álgebra) de forma a reproduzir raciocínios (lógicos). Leibnitz acreditava que esta manipulação poderia ser mecanizável, ou seja que seria possível construir mecanismos que efectuavam raciocínios. A representação algébrica da Lógica teve de esperar pelo século XIX, com a introdução da Álgebra de Boole que abriu caminho para o lugar de destaque que esta disciplina veio a tomar nesse século e no seguinte. No século XIX nasceu a convicção de que os conceitos da Matemática, em particular o conceito de número e as verdades da Aritmética, tinham fundamentação lógica (e não necessitavam de mais fundamentação). A Lógica Matemática nasceu do propósito de justificar (logicamente) a Aritmética. Para este propósito Frege generalizou o cálculo proposicional acrescentando os quantificadores universal e existencial e representou os números naturais como classes. A representação original dos naturais de Frege era incorrecta por implicar um paradoxo identificado e, mais tarde, resolvido por Russel. A intenção de capturar todas as verdades da Aritmética a partir de um sistema lógico mostrou-se demasiadamente ambiciosa: já neste século Godel mostrou que se um sistema representa a Arimética (usando um número "razoável" de postulados) então é incompleto (ou seja, existem verdades da Arimética que não se provam usando esse sistema). Este resultado, conhecido como o teorema da incompletude de Godel, deitou por terra o sonho (de Hilbert) de construir toda a Ciência usando um conjunto de verdades a partir das quais todo o conhecimento pode ser deduzido logicamente.

Uma contribuição de enorme importância que nasceu da Lógica Matemática refere-se à possibilidade de utilizar mecanismos que executem raciocínios por manipulação das regras da lógica. Esta possibilidade levantou a questão de saber as possibilidades e limites do que é computável. Alan Turing descobriu (conceptualmente) a máquina universal, ou seja, uma máquina que tem a capacidade de computar tudo o que é computável. A Teoria da Computabilidade tem uma aplicação prática que alterou o mundo: o computador, que é uma realização da máquina de Turing.

Sub-Temas e Tópicos

© 2008-2009, Instituto Superior Técnico. Todos os direitos reservados.
  • Feder
  • POS_conhecimento