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Provavelmente o conceito Matemático mais inútil do Mundo

Publicado em 18/01/2006 | Matemática

A matemática é quase tão velha quanto a humanidade. Desde os números naturais até à geometria algébrica e à  computação muito tem sido feito, muitos resultados têm sido demonstrados, muitas conjecturas têm sido feitas.

Há resultados importantes, outros que nem tanto. Há também teoremas importantes que começaram por ser uma mera “brincadeira” matemática e acabam por contribuir para grandes avanços nesta disciplina. Por exemplo, o Último Teorema de Fermat, que diz que para n>2 não existem soluções inteiras positivas x, y e z da equação xn + yn = zn, embora pareça inocente, demorou 350 anos a ser demonstrado e na sua demonstração foram utilizados avanços extraordinários de várias áreas da matemática, desenvolvidos ao longo do sec. XX.

O conceito que vou aqui introduzir tem muito poucas probabilidades de se tornar importante. Penso que ainda terá menos probabilidades de se revelar de alguma utilidade para alguém. Mas é engraçado.

Neste artigo vou falar-vos de números fortuitos. Tudo começa com a constatação de uma propriedade interessante do número 5: a palavra “cinco” tem 5 letras. Em inglês, esta propriedade apenas é manifestada pelo número 4 (“four” tem 4 letras). Em francês, nenhum número tem esta característica. Para trabalharmos com números maiores, definimos números fortuitos como aqueles que são iguais ao produto dos números de letras das palavras do seu nome. Por exemplo, o número 25 é fortuito porque “vinte” tem cinco letras, “e” tem uma letra e “cinco” tem cinco letras e 5x1x5=25. Após uma pesquisa dos primeiros números naturais constatamos que existem mais 3 números fortuitos em português: 54, 125 e 175. Escrevi um programa para pesquisar números fortuitos até mil milhões. E não encontrei mais nenhum! O que não quer dizer que não existam números de 10 ou mais dígitos que sejam fortuitos. Num artigo da Mathematical Inteligencer (1), Michael Kleber publicou um artigo sobre este conceito, indicando uma quantidade considerável de números fortuitos em inglês. Os primeiros números da lista que ele apresenta são 4, 24, 84.672, 1.852.200, 829.785.600. E ainda existem números fortuitos maiores!

A pesquisa de números fortuitos tem,  no entanto, alguns problemas. Por exemplo, em português, dizemos quatorze ou catorze? A verdade é que ambas as expressões estão correctas, o que é uma grande chatice. Eu digo catorze. Mas a partir de 109 temos a famosa questão dos biliões e milhares de milhão. Como é? Em inglês também surgem problemas, por causa da palavra “and”. 123 deve ser dito “one hundred and twenty three” ou “one hundred twenty three”? Nesse aspecto nós temos sorte: “e” tem exactamente uma letra, o que faz do português uma língua “fortuitamente simples”. O francês ainda é pior: 21 diz-se “vingt et un”, mas 22 diz-se “vingt deux”. E depois, temos aquela regra engraçadíssima dos franceses de chamarem “soissante-dix” ao 70 e “quatre-vingt” ao 80. Mas nem tudo é mau, porque com esta regra, 90 (quatre-vingt dix) é fortuito! Afinal, existe uma boa razão para dizer “quatre-vingt dix” em vez de “nonante”.

Bem, mas porquê limitarmo-nos a estas línguas? Podemos, por exemplo, pesquisar o chinês à procura de números fortuitos. Kleber fez isso. Perguntou a um amigo chinês como se escrevem os caracteres numéricos e contou o número de traços em cada caracter (já que o chinês não tem um alfabeto). Mas pelos vistos o chinês não é fortuitamente  interessante, porque além do 1, 2 e 3 (todos fortuitos), existem apenas mais 2 números fortuitos até 1024.

É claro que qualquer matemático tinha de procurar regras e conjecturas sobre os números fortuitos. E assim surgiu a conjectura que diz que existem infinitos números fortuitos em inglês (língua para a qual Conway e Guy desenvolveram um método de dar nomes a números arbitrariamente grandes).

E isto é só com os números naturais! Podemos levar o nosso esforço mais além. Por exemplo, o número ½ lê-se “um meio”. Então, definimos números fortuitos fraccionários como aqueles tais que o número de letras do numerador (ou o produto dos números de letras das várias palavras) sobre o número de letras do denominador é igual ao próprio número. ½ é fortuito, pois “um” tem duas letras e    “meio” tem 4 letras. Chama-se fortuito redutível. 5/7 lê-se “cinco sétimos” e portanto é um número fortuito fraccionário irredutível. O que acontece com denominadores maiores que 10? Eu acho que 1/11 lê-se “um onze avos”. E com esta regra resolvi ir procurar fortuitos fraccionários com numeradores e denominadores entre 1 e 999. Encontrei 116. Por exemplo, 3/12 lê-se “três doze avos”, ou seja, 4/ 16=1/4 e 3/12=1/4. Engraçado, não é? E o que me dizem do número 486/81? “quatrocentos e oitenta e seis oitenta e um avos” vale (12x7x4)/(7x2x4)=6 e 486/81=6. Se alguém quiser a lista  completa de fortuitos fraccionários que encontrei, peça.

O número 486/81 é igual a seis, como vimos. E 6 não é um número fortuito. Mas 486/81 é um número fraccionário fortuito redutível. É um exemplo  do que se chama (do que eu chamo) “expressão fortuita não fortuitamente simplificável”. “oito ao quadrado” vale, fortuitamente falando,  4x2x8=64=82. Mas “sessenta e quatro” vale 8x6=48. É outro exemplo de uma expressão fortuita não fortuitamente simplificável.

Mas há mais! Existem números que são fortuitos a menos de um sinal. Por exemplo, -30 lê-se “menos trinta” e portanto vale 30. O mesmo se passa com - 40.

E ainda temos os números fortuitos conjugados. Por exemplo, “quatro” tem 6 letras e “seis” tem 4 letras. Este é um exemplo de um ciclo fortuito.

Este conceito de número fortuito é apenas uma brincadeira matemática, sem grande utilidade. Mas mostra-nos um pouco como é desenvolvida uma teoria em matemática. Depois da ideia original é necessário verificar as limitações das nossas definições e corrigi-las para serem rigorosas. À medida que se estudam exemplos simples podem aparecer ideias que nos ajudem a desenvolver a teoria, alargando o seu alcance. E vamos encontrando problemas pelo caminho, às vezes difíceis de resolver. Não há receitas para desenvolver matemática, o processo é muitas vezes por tentativa e erro. E por vezes descobrimos que estamos num beco sem saída e temos de voltar atrás.

Acima de tudo, a Ciência não é feita da mesma forma que é ensinada na escola. Quando uma teoria é criada não tem o aspecto organizado que aparece nos livros. Os conhecimentos são dispersos, descobertos por vários autores, e só muito tempo depois (às vezes séculos) é que os vários teoremas são unificados numa teoria coerente. Nos casos mais interessantes, podem também descobrir-se relações profundas entre esta e outras teorias, contribuindo assim para a formação de um conjunto de noções e resultados que podem ter um uso inesperado na Matemática bem como nas outras Ciências.

Autor: Nelson Sousa

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